\subsection[Support Vectors Machines]{Classification avec les Support Vectors Machines}
\subsection*{Principe}
\noindent L'idée de SVM est de maximiser la marge entre la frontière de séparation et les échantillons les  plus proches. Les échantillons les plus proches sont les supports de la marges. Si les échantillons ne sont pas linéairement séparable, l'idée du SVM est aussi de monter en dimension (jusqu'à l'infinie et au delà) afin de trouver une séparation linéaire. Une fois cette séparation linéaire trouvée dans  la nouvelle dimension, on revient en dimension normale.\\

\noindent la figure \ref{SVM1} montre la séparation de deux nuages de 500 points prix aléatoirement dans rgb\_1 et rgb\_2 (respectivement bleu et rouge). Le nuage vert représente un échantillons de 1000 points de la classe de test de rgb\_2t pris eux aussi aléatoirement. La figure \ref{SVM1Zoom} présente une zoom pour montrer la frontière entre les échantillons bleu et rouge. On peut voir que certain points pivots 

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.3]{images/svm1.png}
\caption{Classification par SVM}
\label{SVM1}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.3]{images/svm1Zoom.png}
\caption{Zoom sur la frontière et la marge}
\label{SVM1Zoom}
\end{figure}

Nous pouvons voir que la classe test (en vert) n'est ni proche de la classe rgb1, ni proche de la classe rgb2. Cependant, cette classe test est associée à la classe rgb2, au lieu de rgb1. En effet, elle est situé du même coté de la frontière de séparation que la classe rgb2 (la classe rouge). SVM ne suffit donc pas à correctement classifier, sur ce cas particulier où la classe test n'est pas vraiment comme la classe d'apprentissage.\\
Nous pouvons en conclure que soit le nombre d'échantillon n'est pas assez important, soit que la classe d'apprentissage rgb1 ou la classe test rgb1\_t n'est pas correcte.\\ 

%TODO explication parametre
\noindent La figure suivante \ref{SVM1Zoom} montre une séparation par SVM sur les classes rgb1 et rgb2 en ayant augmentant la force d'attachement des marges
à la frontière (le paramètre C dans l'appel à \texttt{smo}). On constate que la frontière et la marge sépare beaucoup mieux ce qui va nous permettre de mieux classifier comme nous allons le voir tout de suite.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{images/svm_50_500.png}
\caption{Zoom sur la frontière et la marge}
\label{SVM1Zoom}auto
\end{figure}


\begin{figure}[h!]
\center
\begin{tabular}{|l||c|c|c|c|}
   \hline
   Échantillon test& \texttt{RGB1} & \texttt{RGB2} & \texttt{RGB3} & \texttt{RGB4} \\
   \hline\hline
   \texttt{RGB1\_V} & \textcolor{green}{1} & 0 &  & \\
   \texttt{RGB2\_V} & 0.0596 & \textcolor{green}{0.9404} &  & \\
   \hline
   \texttt{RGB1\_V} & \textcolor{green}{0.9998} & & 0.002 & \\
   \texttt{RGB3\_V} & 0.1522 & & \textcolor{green}{0.8478} & \\
   \hline   
   \texttt{RGB1\_V} & \textcolor{green}{0.9839} & & & 0.0161 \\
   \texttt{RGB4\_V} & 0.0306 & & & \textcolor{green}{0.9694} \\
   \hline
   \texttt{RGB2\_V} & & \textcolor{green}{0.9943} & 0.0.0057 & \\
   \texttt{RGB3\_V} & & 0.0091 & \textcolor{green}{0.9909} & \\
   \hline
   \texttt{RGB2\_V} & & \textcolor{green}{0.5478} & & 0.4522\\
   \texttt{RGB4\_V} & & 0.0095 & & \textcolor{green}{0.9905} \\
   \hline
   \texttt{RGB3\_V} & & & \textcolor{green}{0.9882} & 0.0118 \\
   \texttt{RGB4\_V} & & & 0 & \textcolor{green}{1} \\
   \hline
\end{tabular}
\caption{Classification par SVM avec une stratégie de 1vs2}
\label{tab_1v2_svm}
\end{figure}
\noindent Le tableau \ref{tab_1v2_svm} présente les résultats d'une classification par svm. Pour les classes d'apprentissage nous avons pris 500 échantillons aléatoirement et la totalité des échantillons de vérité. Nous pouvons constater que à part pour classifier rgb2\_t face à rgb2 et rgb4 qui ne donne que 54.78\% de bonne cassification, la classification par SVM classifie correctement le reste des données. Cependant la séparation par SVM prend beaucoup de temps ce qui relativise son efficacité.
